PRESENTACIÓN

SEMINARIO

CONFERENCISTAS:

EDILSA CAMPANELLA 

KIARA MOZO ALTAMAR

KELGYS GARCIA BELEÑO

MALKA MENDOZA RUEDA

YANDRIS ROSADO AÑEZ

¿QUE ES METODO SIMPLEX?

  


¿QUE ES EL MÉTODO SIMPLEX?

El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables.

 El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución (bryan Antonio Salazar lopez, ingeniero industrial)

Este famosísimo método fue creado en el año de 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones y n variables.

Ø  PARA QUÉ SIRVE EL MÉTODO SIMPLEX

El método simplex permite localizar de manera eficiente la óptima solución entre los puntos extremos de un problema de programación lineal. La gran virtud del método simplex es su sencillez, método muy práctico, ya que solo trabaja con los coeficientes de la función objetivo y de las restricciones.

Es muy importante en el área empresarial ya que lo utilizan para obtener solución a  los problemas de las empresas en cuanto a inventario, ganancias y pérdidas.

Este método permite visualizar cuánto se debe vender, cuanto se debe producir o cuánto se debe comprar según sea el caso para que la empresa obtenga las ganancias óptimas y suficientes para competir en el mercado.

En Base a esta importancia El método simplex ha tenido diversas aplicaciones en las industrias especialmente en el área de transporte, en la parte de inventarios y en lo empresarial en general. Este método sirve para resolver problemas.

Ø  ¿QUE ES UNA MATRIZ IDENTIDAD?

Una matriz puede definirse como una ordenación rectangular de elementos, (o listado finito de elementos), los cuales pueden ser números reales o complejos, dispuestos en forma de filas y de columnas.

 La matriz idéntica o identidad es una matriz cuadrada (que posee el mismo número tanto de columnas como de filas) de orden n que tiene todos los elementos diagonales iguales a uno (1) y todos los demás componentes iguales a cero (0), se denomina matriz idéntica o identidad de orden n, y se denota por:

La importancia de la teoría de matrices en el Método Simplex es fundamental, dado que el algoritmo se basa en dicha teoría para la resolución de sus problemas.

Ø  OBSERVACIONES IMPORTANTES AL UTILIZAR MÉTODO SIMPLEX

Variables De Holgura Y Exceso

El Método Simplex trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones iniciales que se modelan mediante programación lineal no lo son, para ello hay que convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables denominadas de holgura y exceso relacionadas con el recurso al cual hace referencia la restricción y que en el tabulado final representa el "Slack or surplus" al que hacen referencia los famosos programas de resolución de investigación de operaciones, estas variables adquieren un gran valor en el análisis de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la creación de la matriz identidad base del Simplex.

Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se suman si la restricción es de signo "<= " y se restan si la restricción es de signo ">=".

Variable Artificial / Método de la "M"

Una variable artificial es un truco matemático para convertir inecuaciones ">=" en ecuaciones, o cuando aparecen igualdades en el problema original, la característica principal de estas variables es que no deben formar parte de la solución, dado que no representan recursos. El objetivo fundamental de estas variables es la formación de la matriz identidad.

 Estas variables se representa por la letra "A", siempre se suman a las restricciones, su coeficiente es M (por esto se le denomina Método de la M grande, donde M significa un número demasiado grande muy poco atractivo para la función objetivo), y el signo en la función objetivo va en contra del sentido de la misma, es decir, en problemas de Maximización su signo es menos (-) y en problemas de Minimización su signo es (+), repetimos con el objetivo de que su valor en la solución sea cero (0).

Ø  PROGRAMACIÓN LINEAL – VOCABULARIO

1. Fun ción objetivo= una función que expresa la cantidad a ser maximizada o minimizada en términos de las otras variables.

2.   Restricción - una condición o limitación  que se aplica a la elección de valores para las variables.

3.   Problema de maximización estándar - un problema de programación lineal para la cual la función objetiva función debe ser maximizada y todas las restricciones son desigualdades  de la forma  “menor-o-igual-a (≤)

4.   Variable de holgura (slack variable) - una variable que se utiliza para convertir un " menor-o-igual-a” en una ecuación.

5. Matriz aumentada - una matriz que representa un sistema de ecuaciones lineales.

6.   Solución óptima - el conjunto de variables con valores distintos de cero que maximizan o minimizan la función objetiva.

7.   Variable básica - una variable que forma parte de la solución óptima del problema.

8.   Columna pivote - la columna de la tabla simplex que representa una variable que entrará en la solución óptima.

9.   Fila pivote - la fila de una tabla simplex que representa la variable que sale de la solución óptima.

10. Elemento pivote o pivote- el elemento que se encuentra en la intersección de la columna pivote y la fila pivote.

FORMA ESTANDAR DEL MODELO

 FORMA ESTÁNDAR DEL MODELO:

a.- Todas las restricciones son ecuaciones con los lados derechos no negativos. Las restricciones del tipo ≤ o ≥ se convierten en ecuaciones sumando una variable de holgura (caso ≤) o restando una variable de exceso (caso ≥) en el lado izquierdo de la restricción.

b.- Todas las variables son no negativas, si una variable es irrestricta se usa la sustitución Yi = Y ´i – Y´´i. Una variable negativa se hace no negativa multiplicando por -1 a la variable en la función objetivo y las restricciones.

c.- La función objetivo es de maximización o minimización.

PROCEDIMIENTO PASO A PASO

PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN

 El procedimiento básico utilizado para resolver este tipo de problema es aplicar el método Simplex.

Ø  Construcción del Modelo

• Variables de decisión

 

X,Y

• Función-objetiva

MAXZ=70X+50Y

• Conjunto de restricciones

4 x + 3 y ≤ 240

2 x + y ≤ 100

x ≥ 0 , y ≥ 0

 Ø  Procedimiento de  Método Simplex

1.   Armar la tabla simplex

Paso 1: cada desigualdad (≤) se convierte en un ecuación introduciendo una variable de holgura (slack variable).

4X+3Y+S1=240

2X+Y+S2=100

X,Y,S1,S2 >=0

• Paso 2: Despejar la función objetiva (todas  las variables al lado izquierdo) y se iguala a cero.7

 4X+3Y+S1=240

2X+Y+S2=100

Z-70X-50Y=0

X,Y,S1,S2 >=0

• Paso 3: Tabla para cálculos.          

En las columnas aparecerán todas las variables del problema  y en las filas, los coeficientes de las ecuaciones obtenidas.

Base	x        y         s1           s2	SOLUCIÓN
s1 s2	4        3           1             0        2        1           0             1	240 100
Z	-70     -50          0             0	0

2.   1ra Iteración:

Paso 1: Determinar cuál variable debe entrar a la solución.

Para escoger la variable de decisión que entra a la solución óptima  observamos la fila que muestra los coeficientes de la función objetiva y escogemos la variable con el coeficiente más negativo. (Esta es la variable que aporta más a las ganancias.) 

 Columna pivote

                                              Columna pivote

Base	v de holgura x         y       s1          s2	solución
s1 s2	4      3        1           0   2       1        0            1	240 100
z	-70    -50        0            0	0

Paso 2: Determinar cuál variable debe salir de la solución

Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la solución, se divide cada término de la columna solución (valores constantes) entre el término correspondiente de la columna pivote, siempre que  estos últimos sean mayores que cero.

Base	v . de holgura x       y        s1        s2	solución
s1 s2	4       3          1          0  2       1          0           1	240  /  4 = 60 100   / 2 = 50
z	-70   -50         0           0	0

El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo,  indica la fila de la variable  de holgura que sale de la base, s2 esta fila se llama fila pivote

Base	v. de holgura x         y          s1          s2	solución
s1 s2	4        3           1            0        2        1            0            1         número pivote	240/4=60 100 / 2=50
z	-70     -50           0            0	0

• Paso 3:    1ra operación sobre las fila pivote

Los nuevos coeficientes de la fila pivote se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila pivote entre el elemento pivote, y se pasa a una nueva plantilla:

BASE	V. D                    V. H    X      Y           S1     S2	SOLUCIÓN
X	1      0.5             0        0.5	50

                                                                  

  

Se buscan los nuevos valores de las filas de las variables s1 y z de la siguiente manera:

Coeficiente Pivote * Fila Nueva- Fila Vieja= F.N.N

Para: S1

F. Vieja	0	1	3	4	240
C.P	4	4	4	4	4
F. Nueva	0.5	0	0.5	1	50
F.N.N	-2	1	1	0	40

BASE	V. D                    V. H X      Y              S1     S2	SOLUCIÓN
s1 X	0      1                1       -2    1     0.5              0        0.5	40 50

Para: z

0	-70	-50	0	0	F.V.
-70	-70	-70	-70	-70	C.P
50	1	0.5	0	0.5	F.N
3500	0	-15	0	35	F.N.N

   

NUEVA TABLA

BASE	V. D                    V. H X      Y              S1     S2	SOLUCIÓN
s1 X	0      1                1       -2    1     0.5              0        0.5	40 50
Z	0     -15               0        35	3500

        Fin de la primera iteración.

3.   2da iteración

BASE	V. D                    V. H X      Y          S1     S2	SOLUCIÓN
s1 X	0       1             1        -2  1      0.5           0       0.5	40 50
Z	0     -15            0        35	3500

Paso 1: Nuevamente, para escoger la variable de decisión que entra a la solución, observamos la fila que muestra los coeficientes de la función objetiva y escogemos la variable con el coeficiente más negativo y Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la solución, se divide cada término de la columna solución (valores constantes) entre el término correspondiente de la columna pivote, siempre que  estos últimos sean mayores que cero.

BASE	x       y          s1        s2	solución
S1 X	0        1          1          -2      1       0.5        0         0.5	40 /  1 = 40 50  / 0.5  = 100
Z	0     -15         0         35	3500

Los nuevos coeficientes de la fila pivote se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila pivote entre el elemento pivote, y se pasa a una nueva plantilla.

Se buscan los nuevos valores de las filas de las variables X y z de la siguiente manera:

Coeficiente Pivote * Fila Nueva- Fila Vieja= F.N.N

 PARA X

fila vieja	0.5	0	0.5	1	50
c.pivote	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5
fila.nueva	-2	1	1	0	40
f. n.n	1.5	-0.5	0	1	30

PARA Z

FIL. V	35	0	-15	0	3500
C.P	-15	-15	-15	-15	-15
F.N	-2	1	1	0	40
F.N.N	5	15	0	0	4100

Nueva plantilla con los nuevos valores

BASE	S2	S1	Y	X	SOL
Y	-2	1	1	0	40
X	1.5	-0.5	0	1	30
Z	5	15	0	0	4100

Como ya las entradas de la última fila son positivas, hemos terminado.